mathmodels 包使用手册

化繁为简的数学建模利器

作者

张敬信

发布于

2026年10月12日

前言

这是与 mathmodels 包配套的中文使用手册¹，内容整合自该包的 vignettes，目前只完整包含评价类算法。

Github 在线书：https://zhjx19.github.io/mathmodels-book/

`mathmodels` 包与本配套使用手册的核心特色

1. 全面覆盖评价类算法

算法	函数
指标数据预处理	`standardize()/normalize()/rescale_middle()/rescale_interval()/rescale_extreme()/rescale_initial()/rescale_mean()/to_positive()`
层次分析法 (AHP)	`AHP()`
熵权法	`weight_entropy()`
CRITIC 赋权	`weight_critic()`
PCA 赋权	`weight_pca()`
主客观组合赋权	`combine_weights()`
TOPSIS	`topsis()`
灰色关联分析 (GRA)	`grey_corr()/grey_corr_topsis()`
秩和比法 (RSR)	`rank_sum_ratio()`
模糊综合评价 (FCE)	`fuzzy_eval()/defuzzify()/compute_mf()/mf_tri()/mf_trap()/mf_gauss()/mf_gbell()/mf_gauss2()/mf_sigmoid()/mf_dsigmoid()/mf_psigmoid()/mf_z()/mf_pi()/mf_s()/plot_mf()`
数据包络分析 (DDC/BCC/SBM, Malmquist)	`basic_DEA()/super_DEA()/basic_SBM()/super_SBM()/malmquist()`
不平等度量：基尼系数、泰尔指数及其分解	`gini0()/gini()/theil0()/theil()/theil0_g()/theil_g()/theil_g2_cross()/theil_g2_nest()`
区域经济 (LQ, HHI, EG 指数)	`LQ()/HHI()/EG()`
系统评价：耦合协调度、障碍度	`coupling_degree()/obstacle_degree()`

2. tidyverse 生态无缝衔接

实际使用数学建模算法的最大痛点，往往都是批量应用算法，比如

层次分析法整个层次结构嵌套了多个子结构，而 AHP() 只解决一个子结构
计算每个行业每年份内省份间工资的不平等程度（基尼系数）
……

这就需要从整洁数据开始，纳入 tidyverse 强大的数据编程思维：map 泛函式循环迭代、分组修改/汇总、分组嵌套等批量建模技术。

mathmodels 包通过精心设计函数接口，可与 tidyverse 生态的无缝衔接，显著提升了数学建模算法的易用性和批量处理效率。其核心设计理念是将算法封装为标准化函数，并通过两种策略实现与 tidyverse 工作流的深度结合：

(1) 函数专注单一计算，外部接入 tidyverse 实现批量应用

设计特点：每个函数聚焦独立算法（如数据预处理、权重计算、评价模型），输入输出标准化，便于嵌入 tidyverse 管道操作。

典型应用场景：

数据预处理：结合 mutate() + across() 批量预处理多列指标

df |> 
  mutate(across(2:4, rescale))  # 归一化多列

批量建模I：使用 map() 循环迭代

# 在位于一层的5个判断矩阵上分别应用AHP()
res = list(B1, B2, B3, B4, B5) |>
  map(AHP)
map_dbl(res2, "CR")             # 提取5个一致性比率

批量建模II：通过 summarise(..., .by) 分组应用算法

# 计算每个行业每年份内省份间工资的不平等程度(基尼系数)
df |> 
  summarise(Gini = gini(平均工资, 就业人数), .by = c(年份, 行业))

批量建模III：分组嵌套，每个嵌套数据框应用算法，再解除嵌套

# 计算每年的二级指标障碍度
df |>
  nest(.by = 年份) |>
  mutate(model = map(data, \(d) coupling_degree(d, id_cols = " 地区"))) |>
  unnest(model)

(2) 将 tidyverse 数据思维融入函数内部

设计特点：函数内部直接整合分组操作，用户无需额外代码即可处理分组数据。

典型函数示例：

秩和比法：rank_sum_ratio() 中间步骤涉及诸多数据操作（用户无感知）
泰尔指数分解：theil_g() 等直接支持分组计算，自动返回组间/组内不平等分解结果。
区位商：LQ() 提供 .by 参数，可选分组计算（比如各年份）区位商
EG 指数：EG() 内部计算总量和分组占比，返回批量的 EG 指数。

另外，完美支持 |> 管道操作，将复杂问题分解为依次解决的若干简单问题，代码简洁流畅。

3. 算法实现精益求精

每个函数的输入（参数）、输出（返回值）都经过精心设计，充分考虑：
- 实用性、易用性，比如与 tidyverse 结合，比如泰尔指数及其分解结果直接到可用于论文的表格
- 易被忽略的细节，比如避免中心型、区间型指标做两次归一化；
注重算法的简单化、流程化实现，比如模糊综合评价通过提炼 compute_mf() 函数，成功将代码量减少了十倍。

4. 教学科研双重价值

理论扎实可靠：所有算法基于《数学建模：算法与编程实现》教材或经典文献；
完整配套资源：整合包的 vignettes 以在线书籍形式呈现，构成完整学习体系；
案例驱动学习：丰富的真实案例帮助用户快速掌握算法应用；
学术研究利器：为数学建模师生或科研工作者提供可靠、高效的算法工具箱。

总之，这套完整的解决方案将复杂的数学建模算法转化为简单易用的 R 工具，让数学建模师生或科研工作者能够专注于解决实际问题，而非算法实现的细节。

关于 `mathmodels` 包（当前 0.0.14 版本）

mathmodels 包是一个功能丰富的 R 语言数学建模包，专为《数学建模：算法与编程实现》^[1]（机械工业出版社）配套开发，面向广大数学建模师生和科研工作者而设计，提供便捷高效的数学建模工具集，侧重以易用的方式实现严谨算法。

当前版本（0.0.14）在已有的综合评价、预测、微分方程等算法之上，新增了多元统计工具（降维、聚类、判别、对应分析、多维标度、典型相关与偏相关，mv_* 系列）、统计推断工具（stat_* 系列检验、stat_bootstrap() / stat_perm_test() 重抽样框架、export_table() 三线表导出），以及数据清洗工具（缺失值诊断 na_summary()、插补 impute() / impute_model() / impute_multiple()、rubin_pool() / pool_fit() 合并与 outlier() 异常值处理）。同时统一了函数命名：赋权函数统一为 weight_* 前缀，隶属函数统一为 mf_* 前缀，微分方程模型统一为 ode_* 前缀。

主要功能概览：

综合评价：AHP、熵权法、CRITIC、PCA赋权、TOPSIS、灰色关联分析（GRA）、秩和比法（RSR）、模糊综合评价（FCE）、数据包络分析（CCR/BCC/SBM、Malmquist指数），外加基尼系数、泰尔指数等不平等度量，以及耦合协调度与障碍度模型。
预测模型：
- 灰色预测：GM(1,1)、GM(1,N)、Verhulst模型。
- 马尔可夫预测：markov_chain()、GM11_markov()。
- 回归预测：reg_lm()、reg_logistic()、reg_poisson()、reg_negbin()（支持逐步回归）；配套 reg_predict()、reg_diagnostics() 及可视化函数 plot_reg_predict()、plot_reg_residuals()。
- 时间序列：以 ts_df 为核心的轻量级工具集，涵盖数据转换（as_ts_df()）、缺失值处理（complete_ts_df()、impute_ts_df()）、Box-Cox/对数/差分变换与逆变换（ts_transform()、ts_back_transform()）、平稳性检验（ts_test()）、STL分解（ts_stl()）、ETS与SARIMA建模（ts_ets()、ts_sarima()）、统一预测接口（ts_forecast()），以及配套的可视化函数：plot_ts()、plot_ts_forecast()、plot_ts_acf()、plot_ts_pacf()、plot_ts_stl()、plot_ts_residuals()。
插值与曲线拟合：分段线性插值、样条插值、多项式插值与Hermite插值（interp_linear()、interp_spline()、interp_poly()、interp_hermite()）；曲线拟合（poly_fit()、curve_fit()、growth_fit()），对Logistic、Gompertz、Michaelis-Menten等非线性模型自动生成初始值。
微分方程模型：ode_solver() 支持字符串公式定义的任意常微分方程组；内置人口模型（Malthus、Logistic）、传染病仓室模型（SI、SIS、SIR、SEIR）以及Lotka-Volterra捕食者-猎物模型，统一采用 init + params 接口。传染病可视化（plot_compartments()、plot_incidence()、plot_phase_si()、plot_Rt_estimate()）与指标计算（epi_metrics() 可输出R₀、峰值、罹患率等）。
多元统计：降维（mv_pca()、mv_efa()）、聚类（mv_hclust()、mv_kmeans()）、判别分析（mv_discrim()）、对应分析与多维标度（mv_corresp()、mv_mds()）、典型相关与偏相关（mv_cancor()、mv_pcor()），以及配套的碎石图、得分图、轮廓图、树状图等可视化函数。
统计推断与数据清洗：stat_* 系列假设检验、重抽样（stat_bootstrap()、stat_perm_test()）与三线表导出（export_table()）；缺失值诊断与插补（na_summary()、impute()、impute_model()、impute_multiple()、rubin_pool()、pool_fit()）及异常值处理（outlier()）。
与tidyverse的配合：原生支持管道操作（|>）及 dplyr/ggplot2，数据清洗、分组计算与批量处理流畅顺手。

可从 Github 安装：

remotes::install_github("zhjx19/mathmodels")

或下载到本地解压到当前路径安装（若需要，先安装依赖包：lpSolveAPI 等）：

install.packages("mathmodels-master", repos=NULL, type="source")

或者最简R编程入门

前言

mathmodels 包与本配套使用手册的核心特色