mathmodels 包使用手册

化繁为简的数学建模利器

作者

张敬信

发布于

2025年8月5日

前言

这是与 mathmodels 包配套的中文使用手册¹，内容整合自该包的 vignettes，目前只完整包含评价类算法。

Github 在线书：https://zhjx19.github.io/mathmodels-book/

`mathmodels` 包与本配套使用手册的核心特色

1. 全面覆盖评价类算法

算法	函数
指标数据预处理	`standardize()/normalize()/rescale_middle()/rescale_interval()/rescale_extreme()/rescale_initial()/rescale_mean()/to_positive()`
层次分析法 (AHP)	`AHP()`
熵权法	`entropy_weight()`
CRITIC 赋权	`critic_weight()`
PCA 赋权	`pca_weight()`
主客观组合赋权	`combine_weights()`
TOPSIS	`topsis()`
灰色关联分析 (GRA)	`grey_corr()/grey_corr_topsis()`
秩和比法 (RSR)	`rank_sum_ratio()`
模糊综合评价 (FCE)	`fuzzy_eval()/defuzzify()/compute_mf()/tri_mf()/trap_mf()/gauss_mf()/gbell_mf()/gauss2mf()/sigmoid_mf()/dsigmoid_mf()/psigmoid_mf()/z_mf()/pi_mf()/s_mf()/plot_mf()`
数据包络分析 (DDC/BCC/SBM, Malmquist)	`basic_DEA()/super_DEA()/basic_SBM()/super_SBM()/malmquist()`
不平等度量：基尼系数、泰尔指数及其分解	`gini0()/gini()/theil0()/theil()/theil0_g()/theil_g()/theil_g2_cross()/theil_g2_nest()`
区域经济 (LQ, HHI, EG 指数)	`LQ()/HHI()/EG()`
系统评价：耦合协调度、障碍度	`coupling_degree()/obstacle_degree()`

2. tidyverse 生态无缝衔接

实际使用数学建模算法的最大痛点，往往都是批量应用算法，比如

层次分析法整个层次结构嵌套了多个子结构，而 AHP() 只解决一个子结构
计算每个行业每年份内省份间工资的不平等程度（基尼系数）
……

这就需要从整洁数据开始，纳入 tidyverse 强大的数据编程思维：map 泛函式循环迭代、分组修改/汇总、分组嵌套等批量建模技术。

mathmodels 包通过精心设计函数接口，可与 tidyverse 生态的无缝衔接，显著提升了数学建模算法的易用性和批量处理效率。其核心设计理念是将算法封装为标准化函数，并通过两种策略实现与 tidyverse 工作流的深度结合：

(1) 函数专注单一计算，外部接入 tidyverse 实现批量应用

设计特点：每个函数聚焦独立算法（如数据预处理、权重计算、评价模型），输入输出标准化，便于嵌入 tidyverse 管道操作。

典型应用场景：

数据预处理：结合 mutate() + across() 批量预处理多列指标

df |> 
  mutate(across(2:4, rescale))  # 归一化多列

批量建模I：使用 map() 循环迭代

# 在位于一层的5个判断矩阵上分别应用AHP()
res = list(B1, B2, B3, B4, B5) |>
  map(AHP)
map_dbl(res2, "CR")             # 提取5个一致性比率

批量建模II：通过 summarise(..., .by) 分组应用算法

# 计算每个行业每年份内省份间工资的不平等程度(基尼系数)
df |> 
  summarise(Gini = gini(平均工资, 就业人数), .by = c(年份, 行业))

批量建模III：分组嵌套，每个嵌套数据框应用算法，再解除嵌套

# 计算每年的二级指标障碍度
df |>
  nest(.by = 年份) |>
  mutate(model = map(data, \(d) coupling_degree(d, id_cols = " 地区"))) |>
  unnest(model)

(2) 将 tidyverse 数据思维融入函数内部

设计特点：函数内部直接整合分组操作，用户无需额外代码即可处理分组数据。

典型函数示例：

秩和比法：rank_sum_ratio() 中间步骤涉及诸多数据操作（用户无感知）
泰尔指数分解：theil_g() 等直接支持分组计算，自动返回组间/组内不平等分解结果。
区位商：LQ() 提供 .by 参数，可选分组计算（比如各年份）区位商
EG 指数：EG() 内部计算总量和分组占比，返回批量的 EG 指数。

另外，完美支持 |> 管道操作，将复杂问题分解为依次解决的若干简单问题，代码简洁流畅。

3. 算法实现精益求精

每个函数的输入（参数）、输出（返回值）都经过精心设计，充分考虑：
- 实用性、易用性，比如与 tidyverse 结合，比如泰尔指数及其分解结果直接到可用于论文的表格
- 易被忽略的细节，比如避免中心型、区间型指标做两次归一化；
注重算法的简单化、流程化实现，比如模糊综合评价通过提炼 compute_mf() 函数，成功将代码量减少了十倍。

4. 教学科研双重价值

理论扎实可靠：所有算法基于《数学建模：算法与编程实现》教材或经典文献；
完整配套资源：整合包的 vignettes 以在线书籍形式呈现，构成完整学习体系；
案例驱动学习：丰富的真实案例帮助用户快速掌握算法应用；
学术研究利器：为数学建模师生或科研工作者提供可靠、高效的算法工具箱。

总之，这套完整的解决方案将复杂的数学建模算法转化为简单易用的 R 工具，让数学建模师生或科研工作者能够专注于解决实际问题，而非算法实现的细节。

关于 `mathmodels` 包（当前 0.0.5 版本）

mathmodels 包是一个功能丰富的 R 语言数学建模包，专为《数学建模：算法与编程实现》^[1]（机械工业出版社）配套开发。该包计划涵盖微分方程与差分方程、统计分析、优化、评价和预测等多个领域的算法实现。当前版本重点实现评价类算法，主要包括：指标数据预处理（标准化、归一化等）、主客观赋权方法（层次分析法、熵权法、CRITIC 法、主成分法）及主客观组合赋权、综合评价方法（TOPSIS 法、模糊综合评价法、秩和比法、数据包络分析（DEA, SBM, Malmquist）、不平等测度（基尼系数、泰尔指数）、区域经济（LQ、HHI、EG指数）、系统评价（耦合协调度、障碍度）以及灰色预测模型（GM(1,1)、GM(1,N)、Verhulst 模型）等。本包面向广大数学建模师生和科研工作者而设计，提供便捷高效的算法工具支持。

可从 Github 安装：

remotes::install_github("zhjx19/mathmodels")

或下载到本地解压到当前路径安装（需先安装依赖包：deaR 包）：

install.packages("mathmodels-master", repos=NULL, type="source")

前言

mathmodels 包与本配套使用手册的核心特色