1  指标数据预处理

多指标综合评价中，指标数据的预处理是确保评价结果科学、合理和具有可比性的关键。由于原始数据常存在量纲不同、数量级差异大以及指标方向不一致等问题，直接计算会导致量纲大的指标主导结果，或方向相反的指标相互抵消。因此，通常采用无量纲化、标准化、归一化等方法消除量纲影响；对负向指标进行正向化处理；必要时还可使用对数变换减少极端值的影响。

这些预处理使得不同方向、量纲和数量级的指标能够在同一方向、统一尺度上进行比较与合成，从而更准确地体现各自的实际贡献，为后续的权重赋值和综合评价提供可靠基础。

假设有 \(n\) 个评价对象，\(m\) 个评价指标，形成原始指标数据矩阵 \(\mathbf{X}\)，其中，\(x_{ij}\) 表示第 \(i\) 个评价对象第 \(j\) 个指标的值。

R 语言实现的话，指标数据 \(\mathbf{X}\) 通常用数据框存放，一个指标的数据是 \(\mathbf{X}\) 的 \(1\) 列（向量 \(\mathbf{x}\)）。所以，指标数据预处理，就是用 mutate() 修改列，若同时对多列做某一种预处理，可以结合 across()。

以下所有预处理函数，都设计为接受一个向量 x，返回同样长度的结果向量。

1.1 方向一致性处理

1.1.1 负向指标正向化

正向指标，值越大越好，如 GDP；负向指标，值越小越好，如失业率。

正向指标不用处理，负向指标可用以下方式转化为正向指标：

  • 倒数变换：\(\mathbf{x}' = 1 / \mathbf{x}\)
  • 极小极大变换：\(\mathbf{x}' = \max \mathbf{x} - \mathbf{x}\)

注：负向指标正向化，也可以在做归一化/标准化时同时完成（见下文）。

mathmodels 包提供了 to_positive() 函数实现负向指标正向化，基本语法为：

to_positive(x, type = "minmax")
  • type 指定处理方法："minmax"（极小极大变换，默认）、"reciprocal"（倒数变换）。

1.1.2 居中型指标正向化

居中型指标，是指值越接近某个中间值 \(x_{best}\) 越好，如 PH 值，通常按如下公式变换： \[ \mathbf{x}' = 1 - \dfrac{|\mathbf{x} - x_{best}|}{\max \{|\mathbf{x} - x_{best}|\}} \]

mathmodels 包提供了 rescale_middle() 函数实现居中型指标正向化，基本语法为：

rescale_middle(x, m)
  • m 为最佳的中间值。

1.1.3 区间型指标正向化

区间型指标，是指值在某个确定的区间范围 \([a,b]\) 内为最好，如体温，通常做如下变换： \[ \mathbf{x}' = \left\{ \begin{array}{cl} 1-\dfrac{a-\mathbf{x}}{M}, & \mathbf{x} <a \\ 1, & a \leq \mathbf{x} \leq b \\ 1-\dfrac{\mathbf{x}-b}{M}, & \mathbf{x} > b \end{array} \right. \] 其中，\(M = \max\{a - \min \mathbf{x}, \, \max \mathbf{x} - b \}\)。

mathmodels 包提供了 rescale_interval() 函数实现区间型指标正向化，基本语法为：

rescale_interval(x, a, b)
  • a, b为最佳区间的左右端点值

注意，上述居中型、区间型指标正向化已含归一化，结果落在 \([0,1]\)，不必再做归一化。

1.2 无量纲化处理

各指标通常具有不同的量纲（单位）和数量级，若直接进行综合计算，容易使量纲或数值范围较大的指标主导结果，而量纲小或范围窄的指标被弱化，影响评价的客观性与准确性。因此，需对原始数据进行无量纲化处理，消除单位和量级差异，使得指标能够在统一尺度上进行比较与合成。

1.2.1 标准化

标准化，也称为 \(Z\) 标准化，将数据变成均值为 \(0\)，标准差为 \(1\)： \[ \mathbf{x}' = \dfrac{\mathbf{x} - \mu}{\sigma} \] 其中，\(\mu\) 和 \(\sigma\) 分别为 \(\mathbf{x}\) 的均值和标准差。

若是负向指标，可以标准化后再乘以 \(-1\) 进行正向化处理。

注：若只减去均值，不除以标准差，叫做中心化。

mathmodels 包提供了 standardize() 函数实现标准化，基本语法为：

standardize(x, center = TRUE, scale = TRUE)

该函数是将自带的 scale() 函数封装为只处理向量，默认是做标准化，设置 scale = FALSE 则做中心化。

1.2.2 归一化

归一化，是指对数据进行线性变换，等比例缩放，并平移到目标区间 \([a,b]\)（通常取 \([0,1]\)），保持原始数据的相对大小关系不变。

对于正向指标， \[ \mathbf{x}' = (b - a) \cdot \dfrac{\mathbf{x} - \min \mathbf{x}}{\max \mathbf{x} - \min \mathbf{x}} + a \]

对于负向指标， \[ \mathbf{x}' = (b - a) \cdot \dfrac{\max \mathbf{x} - \mathbf{x}}{\max \mathbf{x} - \min \mathbf{x}} + a \]

mathmodels 包提供了 rescale() 函数实现归一化，基本语法为：

rescale(x, type = "+", a = 0, b = 1)
  • type 指定指标方向
  • a, b 确定目标区间，默认是 0 和 1

注：标准化更适合应用到近似服从正态分布的数据；归一化更适合应用到近似服从均匀分布的数据。

1.2.3 规范化

规范化，是指将向量除以其范数，变成单位长度（即长度为 \(1\)）： \[ \mathbf{x}' = \dfrac{\mathbf{x}}{\|\mathbf{x}\|_2} \] 这里使用 \(L_2\) 范数（欧几里德范数）：\(\|\mathbf{x}\|_2 = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}\)。

规范化后，向量在欧氏空间中的长度为 \(1\)，以便用于 TOPSIS 法。

mathmodels 包提供了 normalize()函数实现 \(L_2\) 规范化：

normalize(x)

1.2.4 用于GRA的无量纲化

灰色关联分析（GRA）中，原始数据通常被视为具有时间序列特性的指标。通常优先使用初值化法，因其能保留序列的增长特性，与灰色系统理论强调的“少数据建模”特点契合。

初值化：适合分析增长趋势（如经济指标、产量变化） \[ \mathbf{x}' = \dfrac{\mathbf{x}}{\mathbf{x}[1]}, ~~ \text{（正向指标）} \quad \mathbf{x}' = \dfrac{\mathbf{x}[1]}{\mathbf{x}}, ~~ \text{（负向指标）} \]

还有另外两种方法：

均值化：适合稳定波动的数据（如温度、pH 值） \[ \mathbf{x}' = \dfrac{\mathbf{x}}{\mathrm{mean}(\mathbf{x})} \]

最大值化：适合极差较大的数据 \[ \mathbf{x}' = \dfrac{\mathbf{x}}{\max(\mathbf{x})}, ~~ \text{（正向指标）} \quad \mathbf{x}' = \dfrac{\min(\mathbf{x})}{\mathbf{x}}, ~~ \text{（负向指标）} \]

mathmodels 包提供了如下三个函数实现这三种无量纲化方法：

rescale_initial(x, type = "+")
rescale_mean(x)
rescale_extreme(x, type = "+")
  • type 设置指标方向。

1.3 综合案例

加载包：

library(tidyverse)
library(mathmodels)

\(20\) 条河流的水质数据，已内置到 mathmodels 包，直接访问：

water_quality
# A tibble: 20 × 5
      ID    O2    PH  germ nutrient
   <dbl> <dbl> <dbl> <dbl>    <dbl>
 1     1  4.69  6.59    51    11.9 
 2     2  2.03  7.86    19     6.46
 3     3  9.11  6.31    46     8.91
 4     4  8.61  7.05    46    26.4 
 5     5  7.13  6.5     50    23.6 
 6     6  2.39  6.77    38    24.6 
 7     7  7.69  6.79    38     6.01
 8     8  9.3   6.81    27    31.6 
 9     9  5.45  7.62     5    18.5 
10    10  6.19  7.27    17     7.51
11    11  7.93  7.53     9     6.52
12    12  4.4   7.28    17    25.3 
13    13  7.46  8.24    23    14.4 
14    14  2.01  5.55    47    26.3 
15    15  2.04  6.4     23    17.9 
16    16  7.73  6.14    52    15.7 
17    17  6.35  7.58    25    29.5 
18    18  8.29  8.41    39    12.0 
19    19  3.54  7.27    54     3.16
20    20  7.44  6.26     8    28.4

指标包括：含氧量越高越好（正向指标）；PH 值越接近 \(7\) 越好（居中型指标）；细菌总数越少越好（负向指标）；植物性营养物量介于 \(10 \sim 20\) 之间最佳（区间型指标）。

做如下预处理：

  • 居中型、区间型指标做正向化（归一化）处理
  • 负向指标做极小极大正向化
  • （两个）正向指标做归一化

前文说了，指标数据预处理就是 mutate() 修改列问题。

water_quality |> 
  mutate(PH = rescale_middle(PH, 7), 
         nutrient = rescale_interval(nutrient, 10, 20), 
         germ = to_positive(germ), 
         across(c(O2, germ), rescale))
# A tibble: 20 × 5
      ID      O2     PH   germ nutrient
   <dbl>   <dbl>  <dbl>  <dbl>    <dbl>
 1     1 0.368   0.717  0.0612    1    
 2     2 0.00274 0.407  0.714     0.694
 3     3 0.974   0.524  0.163     0.906
 4     4 0.905   0.966  0.163     0.444
 5     5 0.702   0.655  0.0816    0.691
 6     6 0.0521  0.841  0.327     0.601
 7     7 0.779   0.855  0.327     0.655
 8     8 1       0.869  0.551     0    
 9     9 0.472   0.572  1         1    
10    10 0.573   0.814  0.755     0.785
11    11 0.812   0.634  0.918     0.699
12    12 0.328   0.807  0.755     0.542
13    13 0.748   0.145  0.633     1    
14    14 0       0      0.143     0.455
15    15 0.00412 0.586  0.633     1    
16    16 0.785   0.407  0.0408    1    
17    17 0.595   0.6    0.592     0.182
18    18 0.861   0.0276 0.306     1    
19    19 0.210   0.814  0         0.409
20    20 0.745   0.490  0.939     0.273