8  灰色关联分析

灰色关联分析源于几何直观，实质上是一种曲线间几何形状的比较：几何形状越接近，则发展变化趋势越接近，关联程度就越大。

8.1 灰色关联度

8.1.1 数据无量纲处理

对单位不一，初值不同的序列，应首先进行初值化，即将该序列的所有数据分别除以首项数据，将变量化为无单位的相对数值。负向数据需要做正向化，若用取倒数变换，可以和初值化一起做，即用首项数据除以该所有数据；

或者，

• 做数据均值化，所有数据都除以均值
• 做数据百分比化，所有数据都除以最大值
• 做数据归一化

mathmodels 包提供了初值化、均值化、最大值化函数 rescale_initial(), rescale_mean(), rescale_extreme() 专用于灰色关联预处理。

8.1.2 计算关联系数

设参考序列为 \[ X_0=\left\{x_0(1),x_0(2),\cdots,x_0(m)\right\} \]

比较序列为 \[ X_i=\left\{x_i(1),x_i(2),\cdots,x_i(m)\right\},\quad i=1,\cdots,n \]

比较序列 \(X_i\) 对参考序列 \(X_0\) 在 \(k\) 处的关联系数定义为： \[ \eta_i\left(k\right)=\frac{\min_s\min_t\left|x_0\left(t\right)-x_s\left(t\right)\right|+\rho\max_s\max_t\left|x_0\left(t\right)-x_s\left(t\right)\right|}{\left|x_0\left(k\right)-x_i\left(k\right)\right|+\rho\max_s\max_t\left|x_0\left(t\right)-x_s\left(t\right)\right|} \] 其中，\(\min_s\min_t\left|x_0(t)-x_s(t)\right|\) 和 \(\max_s\max_t\left|x_0(t)-x_s(t)\right|\) 分别称为两级最小差、两级最大差；\(\rho\) 称为分辨系数，越大分辨率越大，一般采用 \(\rho=0.5\)。

8.1.3 计算灰色关联度

关联系数只表示了各个位置参考序列和比较序列之间的关联程度，为了从总体上了解序列之间的关联程度，必须求出它们的平均值，即灰色关联度： \[ r_i=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\eta_i(k) \] 若各指标有不同的权重，可以对进行加权平均，得到灰色加权关联度。

结果解读：

• \(r \in [0, 0.35)\)，称为弱关联
• \(r \in (0.35, 0.65)\)，称为中度关联
• \(r \in [0.65, 1]\)，称为强关联

加载包：

library(tidyverse)
library(mathmodels)

8.2 案例 1：运动员训练与成绩

对某健将级女子铅球运动员的跟踪调查，获得其 1982 年至 1986 年每年最好成绩及 16 项专项素质和身体素质的数据，做灰色关联分析，看哪些指标与铅球成绩关联度更高？

8.2.1 创建数据

sports = readxl::read_excel("data/sports.xlsx")
sports

# A tibble: 5 × 18
   年份  铅球 `4kg前抛` `4kg后抛` `4kg原地` 立定跳远  高翻  抓举  卧推 `3kg前抛`
  <dbl> <dbl>     <dbl>     <dbl>     <dbl>    <dbl> <dbl> <dbl> <dbl>     <dbl>
1  1982  13.6      11.5      13.8      12.4     2.48    85    55    65      12.8
2  1983  14.0      13        16.4      12.7     2.49    85    65    70      15.3
3  1984  14.5      15.2      16.9      14.0     2.56    90    75    75      16.2
4  1985  15.6      15.3      16.6      14.0     2.64   100    80    85      16.4
5  1986  15.7      15.0      17.3      13.5     2.59   105    80    90      17.0
# ℹ 8 more variables: `3kg后抛` <dbl>, `3kg原地` <dbl>, `3kg滑步` <dbl>,
#   三级跳 <dbl>, 全蹲 <dbl>, 挺举 <dbl>, `30米跑` <dbl>, `100米跑` <dbl>

8.2.2 无量纲化处理

sports = sports |> 
  mutate(across(2:16, rescale_initial),
         across(17:18, \(x) rescale_initial(x, "-")))
sports

# A tibble: 5 × 18
   年份  铅球 `4kg前抛` `4kg后抛` `4kg原地` 立定跳远  高翻  抓举  卧推 `3kg前抛`
  <dbl> <dbl>     <dbl>     <dbl>     <dbl>    <dbl> <dbl> <dbl> <dbl>     <dbl>
1  1982  1         1         1         1        1     1     1     1         1   
2  1983  1.03      1.13      1.19      1.02     1.00  1     1.18  1.08      1.20
3  1984  1.07      1.32      1.23      1.12     1.03  1.06  1.36  1.15      1.27
4  1985  1.15      1.33      1.20      1.13     1.06  1.18  1.45  1.31      1.28
5  1986  1.15      1.31      1.26      1.08     1.04  1.24  1.45  1.38      1.33
# ℹ 8 more variables: `3kg后抛` <dbl>, `3kg原地` <dbl>, `3kg滑步` <dbl>,
#   三级跳 <dbl>, 全蹲 <dbl>, 挺举 <dbl>, `30米跑` <dbl>, `100米跑` <dbl>

8.2.3 计算灰色关联度

mathmodel 包提供了 grey_corr() 函数实现计算灰色关联度，基本语法：

grey_corr(ref, cmp, rho = 0.5, w = NULL)

• ref 为参考序列
• cmp 为比较序列
• rho 为分辨系数
• w 为指标权重向量

采用默认分辨系数，不提供指标权重：

res = grey_corr(sports[[2]], sports[,3:18])

• 将结果转化为数据框，并排序：

enframe(res, value = "灰色关联度") |> 
  arrange(-灰色关联度)

# A tibble: 16 × 2
   name     灰色关联度
   <chr>         <dbl>
 1 全蹲          0.933
 2 3kg滑步       0.895
 3 高翻          0.855
 4 4kg原地       0.854
 5 挺举          0.847
 6 立定跳远      0.776
 7 30米跑        0.745
 8 100米跑       0.726
 9 3kg原地       0.708
10 三级跳        0.705
11 3kg后抛       0.683
12 4kg后抛       0.663
13 卧推          0.659
14 4kg前抛       0.588
15 3kg前抛       0.582
16 抓举          0.502

8.3 案例 2：投资产出优势分析

灰色关联分析的参考序列只有 \(1\) 个，当参考序列不止 \(1\) 个时，让比较序列和各个参考序列都做一遍灰色关联分析，得到灰色关联度矩阵，叫作优势分析。

设有 \(m\) 个参考序列，\(l\) 个比较序列，则这 \(l\) 个比较序列对每一个参考序列都有 \(1\) 个关联度，记 \(r_ij\) 表示第 \(j\) 个比较序列对第 \(i\) 个参考序列的关联度，可得到关联度矩阵 \(R = (r_{ij})_m \times l\)。

根据矩阵 \(R\) 的各元素的大小，可分析判断出哪些因素起主要影响（优势因素），哪些因素起次要影响。

8.3.1 创建数据

invest = read_csv("data/invest.csv")
invest

# A tibble: 5 × 12
   year    x1    x2    x3    x4    x5    y1    y2    y3    y4    y5    y6
  <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl>
1  1979  309.  195.  24.6  20    19.0  170   57.6  88.6  11.2  4.03  13.7
2  1980  310   190.  21    25.6  19    174   70.7  70    13.3  4.26  15.6
3  1981  295   187.  12.2  23.3  22.3  197   76.8  85.4  16.8  4.34  13.8
4  1982  346   205   15.1  29.2  23.5  216.  80.7  99.8  18.9  5.06  12.0
5  1983  367   223.  14.6  30    27.7  236.  89.8 103.   22.8  5.78  14.0

8.3.2 无量纲化处理

invest = invest |> 
  mutate(across(-1, rescale_initial))
invest

# A tibble: 5 × 12
   year    x1    x2    x3    x4    x5    y1    y2    y3    y4    y5    y6
  <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl>
1  1979 1     1     1      1     1     1     1    1      1     1    1    
2  1980 1.00  0.972 0.854  1.28  1.00  1.02  1.23 0.790  1.19  1.06 1.14 
3  1981 0.956 0.958 0.496  1.16  1.17  1.16  1.33 0.964  1.50  1.08 1.01 
4  1982 1.12  1.05  0.614  1.46  1.24  1.27  1.40 1.13   1.69  1.26 0.874
5  1983 1.19  1.14  0.592  1.5   1.46  1.39  1.56 1.17   2.04  1.43 1.02 

8.3.3 优势分析：批量计算灰色关联度

map_dfc(invest[7:12], \(x) grey_corr(x, invest[2:6])) |> 
  mutate(`投资/产出` = names(invest)[2:6], .before = 1)

# A tibble: 5 × 7
  `投资/产出`    y1    y2    y3    y4    y5    y6
  <chr>       <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl>
1 x1          0.802 0.689 0.891 0.678 0.811 0.743
2 x2          0.761 0.666 0.858 0.663 0.774 0.766
3 x3          0.557 0.529 0.579 0.568 0.565 0.562
4 x4          0.810 0.885 0.577 0.780 0.804 0.607
5 x5          0.935 0.800 0.675 0.731 0.921 0.632

8.4 灰色关联评价

灰色关联评价，类似于理想解法，算法步骤如下：

• 对指标数据预处理：一致化、规范化后，得到规范矩阵；
• 由于各个指标对综合评价的权重不同，需要根据指标权重对规范矩阵做加权，得到加权规范矩阵；
• 构造参考样本，为“正理想样本”，即各个指标取最大值，构成的最佳样本；
• 将每个样本（评价对象）看作是比较序列，将参考样本作为参考序列，代入灰色关联分析算法，计算灰色关联度。
• 根据该灰色关联度，就可以排序或评价样本的优劣。

以评价河流水质为例。

8.4.1 数据预处理

• 只将中间型、区间型指标做归一化：

df = water_quality |>
  mutate(PH = rescale_middle(PH, 7),
         nutrient = rescale_interval(nutrient, 10, 20))
df

# A tibble: 20 × 5
      ID    O2     PH  germ nutrient
   <dbl> <dbl>  <dbl> <dbl>    <dbl>
 1     1  4.69 0.717     51    1    
 2     2  2.03 0.407     19    0.694
 3     3  9.11 0.524     46    0.906
 4     4  8.61 0.966     46    0.444
 5     5  7.13 0.655     50    0.691
 6     6  2.39 0.841     38    0.601
 7     7  7.69 0.855     38    0.655
 8     8  9.3  0.869     27    0    
 9     9  5.45 0.572      5    1    
10    10  6.19 0.814     17    0.785
11    11  7.93 0.634      9    0.699
12    12  4.4  0.807     17    0.542
13    13  7.46 0.145     23    1    
14    14  2.01 0         47    0.455
15    15  2.04 0.586     23    1    
16    16  7.73 0.407     52    1    
17    17  6.35 0.6       25    0.182
18    18  8.29 0.0276    39    1    
19    19  3.54 0.814     54    0.409
20    20  7.44 0.490      8    0.273

8.4.2 指标权重：熵权法

已经归一化的指标，不必重复做归一化：

idx = c("+", NA, "-", NA)
res = entropy_weight(df[2:5], idx)  
res$w

       O2        PH      germ  nutrient 
0.3153202 0.1813149 0.3506929 0.1526721 

8.4.3 灰色关联评价

mathmodels 包提供了 grey_corr_topsis() 函数实现灰色关联 TOPSIS 法，基本语法：

grey_corr_topsis(X, w, index = NULL, rho = 0.5)

• X 为决策矩阵
• w 为指标权重
• index 可以指定对哪些列做正向（"+"）、负向（"-"）、不做（NA）归一化，默认 index = NULL 表示，所有列都不做归一化。
• rho 为分辨系数

执行灰色关联 TOPSIS 评价，已经归一化的指标，不必重复做归一化：

gcd = grey_corr_topsis(df[2:5], res$w, idx)

转化成 0-100 分数，增加排名列：

tibble(ID = df$ID, 灰色关联度 = gcd, 
       score = rescale(灰色关联度, b = 100),
       rank = min_rank(-score)) |>
  arrange(-score)

# A tibble: 20 × 4
      ID 灰色关联度 score  rank
   <dbl>      <dbl> <dbl> <int>
 1    11      0.613 100       1
 2     9      0.613  99.9     2
 3    10      0.592  91.9     3
 4     7      0.562  80.4     4
 5    20      0.560  79.6     5
 6     3      0.558  79.0     6
 7     8      0.557  78.6     7
 8    13      0.552  76.7     8
 9     4      0.552  76.5     9
10    12      0.545  73.9    10
11    18      0.520  64.2    11
12    16      0.511  60.9    12
13    15      0.506  58.8    13
14     5      0.503  57.6    14
15    17      0.502  57.3    15
16     1      0.501  56.9    16
17     6      0.472  45.8    17
18     2      0.469  44.8    18
19    19      0.430  29.8    19
20    14      0.353   0      20