6 主客观组合赋权

综合评价中，权重的确定往往直接影响最终结果的科学性与合理性。

主观权重，是由专家经验或决策者偏好人为赋予，不依赖于具体数据；而客观权重，则是基于实际数据通过数学方法计算得出，能够较好地反映指标的实际差异与规律。单一使用主观或客观权重均存在局限：主观权重易受人为偏见影响，客观权重则可能忽视实际情境中的重要因素。

主客观组合赋权法，能够将主观判断与客观数据有机结合，在兼顾实际背景的同时提升结果的科学性，从而为多指标综合评价提供更加合理、稳健的权重分配方案。

6.1 四种主客观组合赋权法

(1) 线性组合法

根据领域知识或主客观侧重程度，人为指定一个组合系数 \(\alpha\)，将主观权重、客观权重做线性组合： \[ w = \alpha * w^s + (1 - \alpha) * w^o \] 比如，认为主客观权重同样重要，可取 \(\alpha = 0.5\)。

(2) 乘法综合法（乘积归一化）

只有主客观权重同时较高时，综合权重才会高；若任意一个权重很低，综合权重就会被大幅拉低。类似于“一票否决”——主观和客观都认可，这个指标才真正重要。

具体是先计算主客观权重的乘积，再归一化结果： \[ w_i = \dfrac{w_i^s \cdot w_i^o}{\sum_{j=1}^m w_j^s \cdot w_j^o} \]

(3) 博弈均衡几何平均法（几何平均归一化）

博弈论，是研究多方决策主体在交互环境中如何达成最优策略的重要理论工具。在综合评价中，主观权重与客观权重常存在差异，二者可视为博弈中的“双方”。通过引入博弈论思想，可寻求主客观权重的均衡组合，即在冲突与妥协中达成最优权重分配，从而提升评价结果的科学性与合理性。

优化目标：最小化组合权重 \(w\) 与主客观权重的联合相对熵（KL 散度）： \[ \min\limits_w \sum\limits_{i=1}^n w_i \Big( \ln \dfrac{w_i}{w_i^s} + \ln \dfrac{w_i}{w_i^o} \Big), \quad \text{s.t.} \quad \sum\limits_{i=1}^n w_i = 1, ~ w_i > 0 \] 求解优化问题：通过拉格朗日乘子法，得到最优解： \[ w_i = \frac{\sqrt{w_i^s \cdot w_i^o}}{\sum_{j=1}^n \sqrt{w_j^s \cdot w_j^o}} \]

该组合权重是主客观权重的几何平均的归一化，更温和地平衡了双方的信息差异。

(4) 博弈最优线性组合法

传统线性组合法虽能调和主观权重与客观权重的冲突，但固定系数（如 \(\alpha = 0.5\)）缺乏理论支撑，难以反映权重的动态博弈关系。

博弈最优线性组合法，基于博弈论均衡思想，将主客观权重视为博弈双方，通过最小二乘优化求解最优组合系数，相比几何平均法，该方法更适用于需平滑调和主客观权重冲突的场景。

设组合权重表示为主客观权重的线性组合： \[ w = \alpha w^s + \beta w^o \] 其中，\(\alpha,\beta\) 为待定系数，满足 \(\alpha + \beta = 1\)。

优化目标：最小化组合权重与原始权重的差异： \[ \min \big( \|w - w^s\|_2 + \|w - w^o\|_2 \big) \]

求解优化问题：根据矩阵微分性质，可得最优解满足： \[ \begin{bmatrix} (w^s)^T w^s & (w^s)^T w^o \\ (w^o)^T w^s & (w^o)^T w^o \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (w^s)^T w^s \\ (w^o)^T w^o \end{bmatrix} \] 求解得到的 \(\alpha\) 和 \(\beta\)，再进行归一化： \[ \alpha^* = \dfrac{\alpha}{\alpha+\beta}, \quad \beta^* = \dfrac{\beta}{\alpha+\beta} \]

从而，最终权重为 \(w^*=\alpha^*w^s+\beta^*w^o\)。

6.2 R 实现

mathmodels 包提供了 combine_weights() 函数实现上述四种主客观组合赋权法，基本语法：

combine_weights(w_subj, w_obj, type = "linear", alpha = 0.5)

w_subj, w_obj 分别为已归一化的主客观权重向量；
type 设置组合方法："linear"（线性组合法），"multiplicative"（乘法综合法）、 "game"（博弈均衡几何平均法）、 "game_linear"（博弈最优线性组合法）
alpha 与 type = "linear" 连用，设置组合系数，默认为 0.5

演示示例：

library(mathmodels)
w_subj = c(0.4, 0.3, 0.2, 0.1)         # 主观权重
w_obj = c(0.25, 0.2, 0.3, 0.25)        # 客观权重

线性组合法，取

combine_weights(w_subj, w_obj, type = "linear", alpha = 0.6)

[1] 0.34 0.26 0.24 0.16

乘法综合法

combine_weights(w_subj, w_obj, type = "multiplicative")

[1] 0.4081633 0.2448980 0.2448980 0.1020408

博弈均衡几何平均法

combine_weights(w_subj, w_obj, type = "game")

[1] 0.3279556 0.2540333 0.2540333 0.1639778

博弈最优线性组合法

combine_weights(w_subj, w_obj, type = "game_linear")

[1] 0.3735683 0.2823789 0.2176211 0.1264317